フィボナッチ 数列 と は。 【神秘】数学美 フィボナッチ数列

フィボナッチ数列をわかりやすく解説!一般項の求め方をマスターしよう

フィボナッチ 数列 と は

フィボナッチ数列とは? まずは、フィボナッチ数列とは何かについて説明します。 数列で説明 フィボナッチ数列は、「2つ前の項と1つ前の項を足し合わせていくことでできる数列」のことです。 数列は「1,1」から始まり、 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… と続いていきます。 これを漸化式で表すと、 となります。 これがフィボナッチ数列です。 図形で表すと フィボナッチ数列は、図形で表すこともできます。 まず、1辺の長さが1の正方形を2つならべます。 横の長さは1、縦の長さは2ですね。 その横に、1辺の長さが2の正方形をおきます。 横の長さは3、縦の長さは2ですね。 このあとも1辺の長さが3の正方形、5の正方形、8の正方形…を並べていって、大きな長方形を作ります。 こうして作られていく長方形の縦・横の長さを並べると、フィボナッチ数列ができます。 フィボナッチ数列の特徴 では、フィボナッチ数列の特徴を説明していきます。 自然界におけるフィボナッチ数列 自然界においては、なぜかフィボナッチ数列がよく出現します。 有名なのはひまわりの種ですね。 ひまわりは花の中心に種が隙間なく並んでいますが、よく見ると右回りと左回りに、螺旋上に並んでいることがわかります。 この列は、ほとんどの場合「21, 34, 55」というフィボナッチ数列の中の数になるそうです。 また、先程の長方形を使った下の図形も、自然界によく出現します。 このうずまき、なんとなく見たことはありませんか? アンモナイトやオウムガイのうずまきは、このような形を描いています。 このように、自然界ではフィボナッチ数が多く出現します。 神秘的ですね。 黄金比 あなたは、「一番美しい長方形の縦横比」はなんだと思いますか? 美しいという感覚はもちろん人それぞれですが、古代から長方形の「黄金比」は、 とされてきました。 この長方形には1つ特別な性質があります。 黄金比を持つ長方形から、正方形を抜くと、残った長方形(上図のピンクの箇所)の縦横比は となります。 もとの長方形と同じ縦横比ですね。 つまり、黄金比を持つ長方形から正方形を抜くと、また黄金比を持つ長方形が現れるのです。 美しいと思う長方形を突き詰めたらこの性質がわかったのか、それともこの性質故に美しいと思うのかはわかりませんが、この黄金比は古代ギリシアやエジプトの建築などで用いられてきました。 さて、この黄金比とフィボナッチ数列には実は関係があります。 フィボナッチ数列は 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... でした。 23606より、黄金比は といえます。 ここでフィボナッチ数列の隣り合う数どうしの比を考えてみます。 2 : 3から始めると、 2 : 3 = 1 : 1. 666666 5 : 8 = 1 : 1. 6 8 : 13 = 1 : 1. 625 13 : 21 = 1 : 1. 61538 … となり、だんだん黄金比に近づいていくのがわかりますね。 このように、フィボナッチ数列は黄金比ともつながっているのです。 これは数3の収束を使えば証明することができます。 興味のある方はやってみてください! 隣同士の項は互いに素 フィボナッチ数列の隣同士の項は、必ず互いに素です。 「互いに素」とは、2つの整数が1以外の共通の約数を持たないことを指します。 これは背理法と数学的帰納法を用いて説明することができます。 まず、フィボナッチ数列を漸化式で定義しましょう。 (kは2以上の整数、pは整数) この仮定の元で起こる矛盾を見つければ、仮定が正しくない、つまりフィボナッチ数列の隣り合う2項は2以上の共通の約数を持つことはなく、互いに素であることがわかるのです。 これを繰り返していくと、A1, A2もpを約数として持つことになりますね。 よって矛盾が生じ、仮定が正しくないことがわかりました。 フィボナッチ数列を用いた問題 フィボナッチ数列は大学受験で出題されることも多々あります。 ここでは、特に出やすい「階段の昇り降りの問題」と「一般項の求め方」について説明します。 階段の昇り降り 【問題】 階段を1歩か2歩で上がるとき、9段の階段の上がり方は何通りあるか。 【解説】 この問題は、9段を一気に考えようとするとうまくいきません。 発想を逆転させて、「一歩前にどこにいるか」を考えるべきなのです。 例えば4段目にいる人のことを考えてみましょう。 いま、階段は1歩か2歩でしか上がらないので、 この人はこの一歩前には「2段目か3段目にいる」ことになりますね。 この「前の2つの数字を足す」という計算は、フィボナッチ数列とまったく同じです。 よって出て来る数字もフィボナッチ数列と似てきます。 【解説】 これはフィボナッチ数列を漸化式で表したバージョンですが、解き方は他の漸化式と同じです。 これがフィボナッチ数列の一般項です!.

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フィボナッチ数列と黄金比率の関係をわかりやすく解説

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Pythonによるフィボナッチ数列の色々な求め方(一般項、反復法、再帰法)

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これは、2つの初期条件を持つ漸化式である。 この数列 Fn はフィボナッチ数列(フィボナッチすうれつ、Fibonacci sequence)と呼ばれ、 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …(オンライン整数列大辞典の数列 A45) と続く。 最初の二項は 0, 1 であり、以後どの項もその直前の2つの項の和となっている。 この数列を生んだきっかけとなった問題が、前述した「ウサギの問題」です。 全てのウサギがこの法則に従い、死ぬことはないと仮定した場合、1年後にはウサギは何組まで増えるか?」というものです。 文章で答えを表すと、0ヶ月目と1ヶ月目は1組のままですが、2ヶ月目に1組産むので合計2組になります。 3ヶ月目に入り、最初のつがいがさらに1組産みますが、先月産まれたばかりのつがいはまだ生後1ヶ月目なので産めません。 従って、合計数は3組です。 これをこのまま12ヶ月目まで続けていくと最終的に合計233組のウサギが誕生することになります。 この0.618という数字こそがフィボナッチ・レシオの基本なのです。 この比率は自然界の法則の1つとされ、「最も美しいもの」の比率とされています。 例えば、ピラミッドやパルテノンとかいった宮殿の建築をはじめミロのヴィーナスといった芸術作品にも使われています。 ミロのヴィーナスは身長を1とするとお臍の位置が下から0. 618のところに位置しています。 身近なところでは名刺のサイズ(縦横)、人間の頭のつむじといった例も挙げられます。 つまり、私たちが違和感無く受け入れている美しい形はこの比率で出来上がっているものが多いのです。 マーケットでこの比率が使われる理由としては、株価というものは森羅万象あらゆるものを織り込むものといわれ、そのすべてを織り込むものであれば株価の動きもこの自然界の美しい形、つまりはフィボナッチ・レシオで表すことができるのではないか、ということが考えられます。 また、エリオット波動といわれるマーケットで使われているリズムがあるのですが、このリズムの拡大、縮小にこのフィボナッチ・レシオが当てはまったりしている点を挙げることができます。 有名な建築 パルテノン神殿 ピラミッド 凱旋門 サグラダ・ファミリア大聖堂 ニューヨークの国連ビル 竜安寺の石庭 金閣寺 唐招提寺金堂。 その他、沢山の建築物にこの黄金比が利用されています。 美術 ミロのヴィーナス モナ・リザ、最後の晩餐、ウィトルウィウス的人体図、その他様々(レオナルド・ダ・ヴィンチ) 美しき女庭師【聖母子と幼児聖ヨハネ】(ラファエロ) レカミエ夫人(ジャック・ルイダヴィド) 富嶽三十六景 神奈川沖浪裏(葛飾北斎) その他沢山の作品に黄金比が利用されています。 特にレオナルド・ダ・ヴィンチは黄金比にこだわっています。 自然界 巻貝の螺旋 波の曲線 木の枝の伸び方 植物 例 ヒマワリ、松ぼっくり、パイナップルの鱗片、植物の葉の付き方、枝の構成等、 昆虫の体の分節 星雲 その他自然界の多くの物に当てはまります。 螺旋状に付いている種、葉等よく見るとフィボナッチ数で構成されています。

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