ガウス ザイデル 法。 ガウス=ザイデル法

陰解法とヤコビ法、ガウス=ザイデル法

ガウス ザイデル 法

前回はヤコビ法について書きましたが、今回はそこから一歩推し進めたGauss-Seidel ・ザイデル 法について書きます。 ヤコビ法では収束までの反復数が多いというのが問題でした。 これを解決するために考えだされたのが・ザイデル法です。 簡単に違いを述べると、ヤコビ法は一回前の反復で得られた近似解を使って新しいより良い近似解を作ろうというものでしたが、・ザイデル法は更新が終わった近似解の値、つまり新しい近似解と古い近似解の両方を使って更新を行っていくというものです。 最も新しい近似解を随時使っていくことによって収束を早めることが可能となります。 プログラムは下のような形になります。 手元にある適当なテストデータで実験してみたところ、収束までの反復数も削減されており、ヤコビ法と比較して収束のスピードが上がっていることを確認しました。 ただ、近似解の行間に依存関係があるため、並列化が行いづらいという問題があります。 SOR法 がっつり書くつもりは無いですが、更に収束のスピードを上げる手法としてSOR Successive Over-Relaxation 法 緩和法 というものがあります。 これは・ザイデル法で得られた近似解をそのままその反復での解にするのではなく、その値とひとつ前の近似解を組み合わせたものを新たな近似解とする、というものです。 パラメータ は の範囲で設定しなければ収束はしないそうです。 ただうまく設定してあげれば・ザイデル法よりも収束が高速化されます。 ちなみに だと単なる・ザイデル法になります。 ここらへんのパラメータ調整的な話はきりが無い気がするので、SOR法についてこのぐらいで終わりにしたいと思います。 naga26.

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ガウス=ザイデル法

ガウス ザイデル 法

ガウス・ザイデル法 -Gauss Seidel- ガウス・ザイデル法も同様にn元の連立一次方程式を解く反復法ので解く手法の1つである。 このようにすることで、ガウス・ザイデル法はヤコビ法よりも収束の速度が速くなります。 またガウス・ザイデル法では反復計算で書き換えた変数を使うだけであるが、ヤコビ法では「1つ前の値」を記憶する必要があるので、プログラム上でもガウス・ザイデル法の方が簡単であることが言える。 同様の3元連立一次方程式を解きます。 以下がPythonのプログラムです。 実行結果: ヤコビ法より、計算回数が非常に速いことがわかります。 (反復計算で書き換えた変数をそのまま用いるため) しかし、ガウス・ザイデル法は書き換えた変数を用いるため逐次計算となる。 そのため並列計算には向かない。 また、ヤコビ法は各式で独立に計算ができるため、並列計算に向いている。 以上から、一概にガウス・ザイデル法が良いとは言えません。 また、ヤコビ法やガウス・ザイデル法を緩和係数を用いて組み合わせた「SOR法」もありますが、今回は割愛します。

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ガウス=ザイデル法

ガウス ザイデル 法

ガウス・ザイデル法 -Gauss Seidel- ガウス・ザイデル法も同様にn元の連立一次方程式を解く反復法ので解く手法の1つである。 このようにすることで、ガウス・ザイデル法はヤコビ法よりも収束の速度が速くなります。 またガウス・ザイデル法では反復計算で書き換えた変数を使うだけであるが、ヤコビ法では「1つ前の値」を記憶する必要があるので、プログラム上でもガウス・ザイデル法の方が簡単であることが言える。 同様の3元連立一次方程式を解きます。 以下がPythonのプログラムです。 実行結果: ヤコビ法より、計算回数が非常に速いことがわかります。 (反復計算で書き換えた変数をそのまま用いるため) しかし、ガウス・ザイデル法は書き換えた変数を用いるため逐次計算となる。 そのため並列計算には向かない。 また、ヤコビ法は各式で独立に計算ができるため、並列計算に向いている。 以上から、一概にガウス・ザイデル法が良いとは言えません。 また、ヤコビ法やガウス・ザイデル法を緩和係数を用いて組み合わせた「SOR法」もありますが、今回は割愛します。

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