レオンハルト オイラー。 歴史上の数学者たち: レオンハルト・オイラー

素数に法則はあるのか?

レオンハルト オイラー

せやけど、それを書くには、 この余白は狭すぎる! こんな思わせぶりなメモを残し、 その証明方法を示さず死んでしまったフェルマー。 そのフェルマーの死後から、 100年あまりの時が過ぎた……。 だが、たくさんの数学者の努力にも関わらず、 それだけの時間が経過しても、 フェルマーの最終定理の証明方法を 見つけたものは、誰もいなかった。 しかし! 1700年代に入り、当時、最大最高の数学者であった オイラーが、 ついに、そのフェルマーの最終定理の突破口を開くことになる。 はっきり言っておくが、 オイラーは半端な数学者ではない! まさに、オイラーは 「 計算するために生まれてきた」 と言われるぐらい、天才的な数学の申し子だった。 「 人が息をするように、鳥が空を飛ぶように、オイラーは計算をする」 と評されるオイラーは、とにかく、計算が速く、長大な計算を暗算で 簡単にやってのけることができた。 しかも、彼は、 「 片手でゆりかごを揺らしながら、 もう一方の手で数学の論文を書いている」 と評されるほど、その天才的才能を一時も無駄にせず、 人生のすべてを数学に費やしたのだった。 その結果、彼が生涯で残した論文は、800以上もの数に達し、 それは未だ誰にも破られることのない数学史上の最高記録であり、 これらの論文が数学界に与えた貢献は計り知れない。 そんな数学的才能に満ち溢れ、あっというまに数学の証明を解いて、 次から次へと論文を書き続けるオイラーだが、 彼の本当に驚くべき才能は、その桁外れの「 集中力」にあった。 こんなエピソードがある。 オイラーが28歳のとき、 ある天文学の問題が、懸賞にかけられた。 その問題は、多くの数学者が 「何ヶ月もかけても、解けるかどうか…」 と尻込みするほどの難問だったのだが、 オイラーは、ぶっとおしで、その問題に取り組み続け、 ほんの3日ほどで、その問題を解決してしまったのだった。 だが、オイラーは、不眠不休で数学をやり続けた結果、 その代償として、 片目を失うことになる。 しかし、数学のやりすぎで、目まで潰してしまったにもかかわらず、 「 おかげで気が散らなくなった。 前より数学の研究に打ち込める」 とさえ述べている。 こうして、その身すら いとわない驚くべき集中力で、 次から次へと数学の論文を大量生産していくオイラーだが、 60歳になったとき、ついに、 もう一方の目も潰れてしまうことになる。 だが、たとえ盲目になっても、オイラーの数学は止まらなかった。 とっくに、引退してもおかしくない高齢にもかかわらず、 オイラーは、目が見えなくても、数学ができるように、 文字を書く特訓すら始めたのだった。 結局、目が見えなくなってからのオイラーの数学は、 むしろ、目が見えたときよりも、 「 より独創的で生産的になった」と言われるほどにまで、 高みへと上っていくのである。 たとえば、現代のコンピュータでよくやるアルゴリズム的な計算方法は、 オイラーが目が見えなくなってから考え出されたものだ。 オイラーが発明した計算方法をつかえば、 とても解けそうもない複雑な方程式があったとしても、 「 まず、テキトーに大雑把な答えを見つける。 次に、その答えを使って、もう少し精度の良い答えを導き出す。 そして、さらにその答えを使って、もっと精度の良い答えを…」 というのを100回ほど繰り返して、ある問題の近似解を見つける、 という、当時としては奇跡的なまでに画期的な方法を考え出している。 (そして、その計算をオイラーは目がみえないまま、 パッとやってしまうのだった) オイラーの時代には、すでに数学は、科学の道具として使われており、 船の設計から運行まで、数学に基づいて行われていた。 したがって、「 厳密な答え」ではないが、 「 実用的には十分使える精度の答え」 が出せるオイラーの計算方法は、当時の人々の生活にとって、 本当に価値のあるものだった。 そして、70歳を越えて、ついにオイラーも死を迎える。 だが、その死の当日すら、数学の研究に没頭していたという…。 後世の人は、オイラーの死をこう表現している。 「 その瞬間、オイラーは、生きることと、計算することをやめたのだ」 そんな人生のすべてを数学に費やした天才数学者オイラーが、 フェルマーの最終定理の証明に挑み、最初の突破口を開いた。 そもそも、フェルマー最終定理は、 X 3+Y 3=Z 3 X 4+Y 4=Z 4 X 5+Y 5=Z 5 … という無限に続く方程式について、 「 解がない」ということを述べているわけだが、 これについて、オイラーは、 「 まず、そのうちの、ひとつの方程式について、解がないことを証明し、 それが別の方程式についても成り立つことを証明する」 という戦略で解決しようと考えていた。 つまり、「 X 4+Y 4=Z 4を満たす自然数 X、Y、Zは存在しない」 という証明のヒントを残していたのだ。 さてさて。 すべての整数は、素数の倍数で表現できる。 (素数とは、5 , 7 , 11 など、1 と自分自身でしか割り切れない数だ) どんな数だろうと、必ず素数の掛け算で表現することができる。 と、ここまでフェルマーの最終定理を追い詰めることに、 成功したオイラーだったが、 さすがの天才もここで証明を断念し、 フェルマーの最終定理に膝を屈するのだった。 さらなる進展は、次なる数学者の登場を待つことになる。 それまでフェルマーの最終定理は静かに眠り続ける…。

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西暦1748年

レオンハルト オイラー

六芒星の一筆書きの例 一筆書き(ひとふでがき)とは、広い意味では「筆記具を平面から一度も離さず線図形を描く」ことである。 狭い意味では、これに加えて「同じ線を二度なぞらない(点で交差するのはかまわない)」という条件が加わる。 筆記体のdは、前者の意味では一筆書きであるが、後者の意味では一筆書きではない。 以下は後者の狭い意味での一筆書きについて記す。 このように、一筆書きできるとできない図形がある。 なお、ケーニヒスベルクとは実際にあった場所の名前である。 ブレーゲル川と七つの橋を示したオイラーの時代のケーニヒスベルク (現在は、橋の本数が過去とは異なる) 問題 [ ] の初め頃にの東部、の首都である(現)という大きな町があった。 この町の中央には、という大きな川が流れており、七つの橋が架けられていた。 あるとき町の人が、次のように言った。 「このプレーゲル川に架かっている7つの橋を2度通らずに、全て渡って、元の所に帰ってくることができるか。 ただし、どこから出発してもよい」 町の人が言ったことはできるだろうか。 グラフ理論との関連 [ ] 、は、この問題を以下のに置き換えて考えた。 そして、オイラーは、このグラフが一筆書きできないことを証明し、ケーニヒスベルクの問題を否定的に解決した。 他の解法 [ ] 問題として示されている範囲の枠外にいったん出ると、その枠外で任意の経路をとることができるため、「指定された橋を全て1度ずつ通って戻ってくるルート」をとることも可能となる。 ただし、いわゆる「題意」からは外れる。 一筆書き可能かどうかの判定法 [ ] あるが一筆書き可能な場合の必要十分条件は、以下の条件のいずれか一方が成り立つことである(参照)。 もし、まだ通っていない経路があれば、先ほどの順路からある頂点を選び、そこから寄り道をしてその頂点に戻ってくる順路を付け足したものに修正する。 その修正を繰り返せばよい。 もし、まだ通っていない経路があれば、先ほどの順路からある頂点を選び、そこから寄り道をしてその頂点に戻ってくる順路を付け足したものに修正する。 その修正を繰り返せばよい。 鉄道における「一筆書き」 [ ] の旅行(主にグループの路線)において、目的地まで最短経路で移動・往復するのでなく、出発地やその近くまでの大回りきっぷを購入することを的に「一筆書き」と呼ぶことがある。 ただし実際には、きっぷの規則は「同じ駅を2度通過してはいけない」という原則によっており、この記事で説明している である「一筆書き」ではなく、グラフ理論ではと呼ばれているものの規則に近い。 などの扱いで主な目的地に立ち寄ったり(で割安になることが多い)、娯楽としてを楽しんだりする。 脚注・出典 [ ].

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一筆書き

レオンハルト オイラー

レオンハルト・オイラー望遠鏡(左手前)。 右奥の高所にはがある。 レオンハルト・オイラー望遠鏡とは、のによって運用されている天体観測用の口径1. 2メートルである。 が運用する・の標高2375メートルの地点にある。 1998年4月12日にを迎えた。 名称はスイスの数学者に由来する。 オイラー望遠鏡に取り付けられた観測装置の1つは、観測用の CORALIE分光器である。 もう1つは多目的撮像装置の EulerCamで、天体の精密なに用いられている。 この他に「ピスコ Pisco 」という名のピギーバック式で取り付けられた小型望遠鏡がある。 CORALIE [ ] CORALIEは系外惑星をで観測することを目的としたであり、1998年4月に運用が始まった。 オイラー望遠鏡はとともに南天の太陽系外惑星を対象としたサーベイ "the Southern Sky extrasolar Planet search Programme" を行い、多くの惑星を発見している。 CORALIEが発見した最初の惑星はの周囲を15. 8日周期で公転する木星型惑星である。 CORALIEはまたプロジェクトがで発見した惑星候補の質量を測定するためにも頻繁に使われている。 フランスの1. 93メートル望遠鏡に設置されていた分光器は、CORALIEと類似している。 参考文献 [ ]• ESO. 2015年9月10日閲覧。 Exoplanets. 2015年9月10日閲覧。 Queloz, D. ; Mayor, M. ; Weber, L. et al. 2000. Astronomy and Astrophysics 354: 99—102. ESO publication, D. Queloz and M. Mayor, , September 2001• unige. 2020年3月29日閲覧。 Queloz, D. ; Mayor, M. ; Weber, L. ; Blecha, A. ; et al. 1999. "A planet orbiting the star Gliese 86". Queloz, D. ; Anderson, D. ; Collier Cameron, A. ; Gillon, M. et al. 2010. Astronomy and Astrophysics 517. 2015年8月17日閲覧。 外部リンク [ ] ウィキメディア・コモンズには、 に関連するカテゴリがあります。

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